NOIP 1998 提高组洛谷P1011题解题思路和步骤 C++实现带注释 p1009洛谷

3天前比赛题解54

本文针对洛谷P1011车站问题，深入解析斐波那契数列在算法题中的应用场景。通过分步拆解问题建模过程，提供完整的C++实现代码及逐行注释，帮助读者掌握递推算法的实现技巧。文章包含关键变量定义、递推公式推导、边界条件处理等核心内容，特别适合准备算法竞赛的编程学习者。

一、题目理解与数学建模

洛谷P1011车站问题要求计算火车经过特定站点时的乘客数量变化。题目给定初始上车人数a和相邻站点人数变化规律，需要求解第n站的下车人数。这是典型的递推问题，其核心在于建立各站点人数之间的数学关系。
通过分析样例数据可以发现，每个站点上下车人数构成斐波那契数列（FibonACci sequence，即每个数是前两个数之和的数列）。第二站上下车人数为a，第三站开始出现递推关系：下车人数等于前两站下车人数之和。这种模式提示我们需要构建两个数组分别存储上车和下车人数的变化序列。

二、边界条件与特殊情况处理

在编写代码前必须明确各类边界条件。当n=1时，始发站没有下车人数；n=2时直接返回初始值a；从第三站开始才适用斐波那契递推规律。这些边界条件的处理直接影响程序的正确性。
特别要注意变量初始化顺序：需要先计算下车人数数组，再推导上车人数数组。因为上车人数的计算依赖于前两站的下车数据。对于大规模数据（如n>20），需要注意整型变量的取值范围，必要时使用long long类型防止溢出。

三、思路分析‌

‌1.变量建模‌

设第2站上下车人数均为b（未知量）。

从第3站开始，上车人数遵循斐波那契规律：上车[k] = 上车[k-1] + 上车[k-2]；下车人数为上一站上车人数14。

‌2.系数分离‌

各站上车人数可表示为a * Fib_a[k] + b * Fib_b[k]，其中Fib_a和Fib_b为斐波那契数列的系数序列35。

总人数递推公式：总人数[k] = 总人数[k-1] + (上车[k] - 下车[k])。

‌3.终点条件‌

第n站下车人数m等于第n-1站的总人数，建立方程求解b的值26。

‌4.计算目标站‌

代入x站，利用总人数公式计算最终结果。

四、完整带注释代码解析

#include <iostream>
using namespace std;

// 斐波那契系数结构体：a为初始上车人数的系数，b为第二站上车人数的系数
struct Fib { int a, b; };

/**
 * 计算到达第steps站时的系数
 * @param steps 目标车站序号
 * @return Fib结构体，包含a和b的系数值
 */
Fib get_coefficients(int steps) {
    // 初始化前两站的系数（根据递推关系设定）
    Fib fa = {1, 0};  // 第一站上车人数系数：a*1 + b*0
    Fib fb = {0, 1};  // 第二站上车人数系数：a*0 + b*1
    
    if (steps == 1) return {0, 0};  // 第一站无系数
    if (steps == 2) return {1, 0};  // 第二站仅a有效
    
    // 从第3站开始递推计算系数
    for (int i = 3; i < steps; i++) {
        int ta = fa.a + fa.b;  // 新站a系数 = 前两站a系数和
        int tb = fb.a + fb.b;  // 新站b系数 = 前两站b系数和
        fa = {fa.b, ta};       // 更新a系数（斐波那契递推）
        fb = {fb.b, tb};       // 更新b系数
    }
    return {fa.b, fb.b};  // 返回最终系数
}

int main() {
    int a, n, m, x;
    cin >> a >> n >> m >> x;  // 输入：初始人数、总站数、终点前站人数、查询站
    
    // 处理前两站的特殊情况
    if (x == 1 || x == 2) {
        cout << a << endl;  // 前两站人数恒为a
        return 0;
    }
    if (n <= 2) {
        cout << (x <= n ? a : 0) << endl;  // 总站数≤2时的边界处理
        return 0;
    }
    
    // 计算第n-1站的总人数系数（用于求b）
    Fib coeff_total = get_coefficients(n - 1);
    // 计算第x站的总人数系数
    Fib coeff_x = get_coefficients(x);
    
    // 解方程：m = a*(1 + sum_a) + b*sum_b
    int sum_a = coeff_total.a;  // a的累计系数
    int sum_b = coeff_total.b;  // b的累计系数
    int b = (m - a * (1 + sum_a)) / sum_b;  // 求解b的值
    
    // 计算第x站结果：result = a*(1 + coeff_x.a) + b*coeff_x.b
    int result = a * (1 + coeff_x.a) + b * coeff_x.b;
    cout << result << endl;
    
    return 0;
}

通过本文的详细解析，读者可以掌握洛谷P1011题的解题思路与C++实现方法。关键点在于识别斐波那契数列模式，正确处理递推关系和边界条件。建议读者自行修改代码中的数组大小和变量类型，尝试处理更大规模的数据，以深入理解动态规划思想在算法题中的应用。