NOIP 1998 普及组 阶乘之和（洛谷P1009）：如何用高精度算法解决阶乘之和

引言

在编程竞赛中，高精度计算是处理大数运算的重要技巧。今天我们就以洛谷P1009"阶乘之和"为例，详细讲解如何用高精度算法解决大数阶乘求和问题。

一、问题重述

计算S=1!+2!+3!+⋯+n!（n≤50），其中n!表示n的阶乘。由于50!的值非常大（约3.04×10^64），远超普通数据类型的表示范围，必须使用高精度计算方法。

二、解题思路详解

1. ‌高精度整数表示‌：

• 使用数组或vector存储大数，每个元素表示数字的一位

• 通常采用逆序存储（个位在前）便于计算

2. ‌高精度乘法实现‌：

• 大数乘以普通整数，逐位相乘并处理进位

• 注意最终可能产生的额外进位

3. ‌高精度加法实现‌：

• 两个大数相加，逐位相加并处理进位

• 注意两个数位数可能不同

4. ‌阶乘计算策略‌：

• 利用递推关系：n! = n × (n-1)!

• 从1开始逐步计算每个数的阶乘

5. ‌累加求和过程‌：

• 初始化总和为0

• 依次将每个阶乘结果加到总和中

三、实现解析

1. ‌高精度乘法函数‌：

• 输入：一个大数a和一个整数b

• 过程：逐位相乘，处理进位

• 输出：乘积结果（大数）

2. ‌高精度加法函数‌：

• 输入：两个大数a和b

• 过程：逐位相加，处理进位

• 输出：和（大数）

3. ‌主函数流程‌：

• 读取输入n

• 初始化阶乘fACt=1!和总和sum=0

• 循环计算每个阶乘并累加

• 输出最终结果

四、代码实现

#include <iostream>
#include <vector>
using namespace std;

// 高精度乘法：大数a乘以整数b
vector<int> multiply(vector<int> a, int b) {
    vector<int> c;
    int carry = 0;
    for (int i = 0; i < a.size(); i++) {
        int temp = a[i] * b + carry;
        c.push_back(temp % 10);
        carry = temp / 10;
    }
    while (carry) {
        c.push_back(carry % 10);
        carry /= 10;
    }
    return c;
}

// 高精度加法：大数a加上大数b
vector<int> add(vector<int> a, vector<int> b) {
    vector<int> c;
    int carry = 0;
    for (int i = 0; i < max(a.size(), b.size()); i++) {
        int sum = carry;
        if (i < a.size()) sum += a[i];
        if (i < b.size()) sum += b[i];
        c.push_back(sum % 10);
        carry = sum / 10;
    }
    if (carry) c.push_back(carry);
    return c;
}

int main() {
    int n;
    cin >> n;
    
    vector<int> sum(1, 0); // 初始化和为0
    vector<int> fact(1, 1); // 初始化阶乘为1
    
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        fact = multiply(fact, i); // 计算i的阶乘
        sum = add(sum, fact); // 将阶乘加到总和中
    }
    
    // 输出结果（逆序输出）
    for (int i = sum.size() - 1; i >= 0; i--) {
        cout << sum[i];
    }
    cout << endl;
    
    return 0;
}

五、常见错误

1. ‌进位处理不当‌：

• 忘记处理乘法或加法后的最终进位

• 进位值可能不止一位

2. ‌数组越界‌：

• 没有预留足够的空间存储大数

• 访问超出数组范围的元素

3. ‌初始化错误‌：

• 忘记初始化阶乘为1

• 总和初始值设置错误

六、扩展思考

这个问题可以有很多变种：

1. 计算更大范围的n（如n=100或更大）

2. 计算模某个数的阶乘和（避免高精度）

3. 计算双阶乘或其它特殊阶乘的和

4. 并行计算优化

七、结论

通过这个问题的分析，我们学习了：

1. 高精度整数的表示方法

2. 高精度乘法和加法的实现

3. 阶乘计算的递推方法

4. 大数运算的处理技巧

掌握这些技巧对解决类似的算法问题非常有帮助。