牛客网12546题：深入浅出地了解BFS算法

一、问题背景与理解

将问题抽象为图论中的最短路径问题

每个位置是图中的节点，两种移动方式是边

目标是找到从起点到特定节点的最短路径

二、算法选择

为什么BFS适合这类问题：BFS天然适合寻找无权图的最短路径

与DFS的对比：BFS能保证首次访问就是最短路径

时间复杂度分析：O(2^n)最坏情况，但实际受步数限制

三、代码实现

#include <iostream>
#include <queue>
#include <unordered_map>
using namespace std;

const long long MOD = 1000000007;
const int MAX_STEPS = 100000;

int main() {
    long long x0;
    cin >> x0;
    
    queue<pair<long long, int>> q; // 存储位置和步数
    unordered_map<long long, bool> visited; // 记录已访问位置
    
    q.push({x0, 0});
    visited[x0] = true;
    
    while (!q.empty()) {
        auto current = q.front();
        q.pop();
        
        long long x = current.first;
        int steps = current.second;
        
        // 检查是否到达目标位置
        if (x % MOD == 0) {
            cout << steps << endl;
            return 0;
        }
        
        // 超过最大步数限制
        if (steps >= MAX_STEPS) {
            continue;
        }
        
        // 生成两个新位置
        long long next1 = (4 * x + 3) % MOD;
        long long next2 = (8 * x + 7) % MOD;
        
        // 检查并加入队列
        if (!visited[next1]) {
            visited[next1] = true;
            q.push({next1, steps + 1});
        }
        if (!visited[next2]) {
            visited[next2] = true;
            q.push({next2, steps + 1});
        }
    }
    
    cout << -1 << endl;
    return 0;
}

四、优化思路

双向BFS：同时从起点和终点搜索

数学方法：分析移动公式的数学性质

提前终止条件：当步数超过限制时立即返回

五、常见错误与调试

整数溢出问题：使用long long类型

忘记标记已访问节点导致无限循环

边界条件处理：初始位置已经是目标位置

六、扩展思考

如果增加第三种移动方式如何修改代码

动态规划解法的可能性

实际应用场景：网络爬虫、游戏AI等

通过这个生动的问题，我们可以深入理解BFS算法的核心思想：系统地、层次性地探索所有可能性，直到找到目标。这种思想在路径规划、网络爬虫、社交网络分析等领域都有广泛应用。